Convegno:
"La matematica e gli studenti con minorazioni visive"

 

BRUNETTO PIOCHI - Università di FIRENZE

DAI CONCETTI MATEMATICI ALLE RAPPRESENTAZIONI


Desidero mettere a premessa di questo intervento un’affermazione di fonte insospettabile, provenendo da una commissione ufficiale del Ministero della Pubblica Istruzione e tratta da un documento alla cui stesura non ha collaborato alcun matematico:

"Un’attenzione particolare e profondamente innovativa sul piano metodologico va riservata all’insegnamento della matematica, che attualmente registra, soprattutto a partire dall’attuale scuola media, il maggior numero di fallimenti, a cui si aggiungono un gran numero di esiti al limite dell’accettabilità".

In un intervento al secondo Convegno su "Matematica e difficoltà" tenutosi nel 1993 a Castel S. Pietro Terme (BO), V. Villani cercò di individuare quelle che possono essere alcuni ostacoli specifici all’apprendimento della matematica, sottolineando fra gli altri i seguenti punti:

  • Terminologia e simbolismo
  • Tecniche di calcolo
  • Sequenzialità stretta fra i diversi argomenti
  • Traduzione dal linguaggio naturale a quello matematico
  • Astrazione e rigore.

Si tratta come si vede chiaramente, di nodi che hanno un forte impatto sull’insegnamento della materia. Tuttavia, vorrei riportare qui due pareri di studiosi in Didattica della matematica, pareri che mi sento di condividere e che sottolineano due diversi rischi in cui il ‘non addetto ai lavori’ può agevolmente cadere.

"Fare matematica non significa, come generalmente si intende e come si è appunto imparato purtroppo a scuola, ridursi a sole attività di calcolo, tanto più oggi che le calcolatrici tascabili e gli elaboratori elettronici ci liberano dalla noia dei calcoli ripetitivi. E non significa neppure imparare soltanto che la somma degli angoli interni di un triangolo è di 180° o che il volume del cono si trova moltiplicando l’area di base per un terzo dell’altezza, tanto per fare qualche esempio. Ciò che interessa è l’acquisizione della mentalità matematica nei suoi vari aspetti".

"I non addetti ai lavori sono talvolta indotti ad identificare il carattere astratto della matematica moderna con il simbolismo di cui essa si avvale. Ogni disciplina ha il suo linguaggio: quello matematico è certamente molto specializzato e spesso in forma eccessiva, quasi narcisistica. Ma i simboli e le formule non sono ‘la matematica’: questa è data dai concetti e dalle relazioni che quelle formule esprimono".

Dunque il nodo dell’apprendimento della matematica (ad ogni livello !) sono i concetti, a cui lo studente dovrà fare riferimento mediante una opportuna rappresentazione. Di solito l’insegnante presenta i concetti matematici attraverso una combinazione di due diversi tipi di approccio: quello ‘rigoroso’ in cui, mediante assiomi, definizioni, teoremi, si costruisce l’universo formale su cui lavorare; quello ‘intuitivo’ nel quale lo studente viene stimolato ad associare ad ogni concetto un’immagine personale, incitando in altre parole lo studente a costruirsi un ‘universo soggettivo’ a cui riferire la teoria. Per una buona interiorizzazione tuttavia bisogna che le nozioni rigorose, spesso astratte e difficili da immaginare, collimino perfettamente con la rappresentazione soggettiva: l’ostacolo più grande sta proprio nel trovare questo equilibrio, difficile soprattutto laddove si lavori sopra strutture astratte, spesso inaccessibili ai nostri sensi, cosicché solo la mente può fornirci una immagine, una rappresentazione, una ‘visione’ adeguata di esse. Già Platone nella "Repubblica" scriveva a questo proposito che "[i matematici] si servono di figure visibili e ragionano su queste, che non sono tuttavia quelle che essi hanno davanti alla mente, ma ne sono le immagini. Nei loro ragionamenti ad esempio è del quadrato in sé e della diagonale in sé che intendono discorrere, non già del quadrato e della diagonale che disegnano; in realtà cercano di vedere appunto quelle cose che non scorgono altrimenti se non nel pensiero".
Come si vede, intervengono qui due temi di cruciale importanza, il rapporto ‘sintassi-semantica’ e quello fra realtà concreta e ‘intuizione’ matematica. E’ da una corretta interazione fra questi aspetti che il concetto nasce, viene pienamente compreso e trova una sua corretta rappresentazione.
Per sintassi si possono intendere i simboli (ed il modo di operare su di essi), per semantica gli oggetti e le situazioni che quei simboli denotano; naturalmente la situazione varia con il passare degli anni: alle Elementari i numeri sono oggetti sintattici, perché sono simboli che si contrappongono agli oggetti concreti, mentre ad es. quando si passa all’algebra i numeri costituiscono la semantica delle espressioni letterali. Il legame sintassi-semantica viene raramente affrontato a scuola e forse non ha neppure senso affrontarlo in forma esplicita: si tratta di concetti di logica indubbiamente difficili, ma con importanti riflessi nella pratica didattica. "In sostanza lo studente deve imparare a distinguere i casi in cui può rispondere alle domande rimanendo a livello semantico da quelle situazioni in cui invece è meglio lavorare a livello sintattico. Più in generale deve imparare a controllare con interpretazioni semantiche i risultati, anche parziali, che ha ottenuto operando sui simboli".

Anche a proposito del rapporto concreto-astratto, non è detto che si debba privilegiare un approccio concreto in tutti gli argomenti di matematica: in effetti giochi (anche software...) e racconti fantastici sono decisamente astratti, mentre i tradizionali esercizi su botti e rubinetti, o su campi da recintare e pareti da verniciare sono sì concreti, ma non suonano certo familiari ai ragazzi, nel senso che non si inseriscono in un loro vissuto personale.
"Non credo si debba temere che l’astrazione sia sempre, di per sé, un elemento di difficoltà. L’importante è, a mio parere, che in ogni occasione sia chiara una semantica (non necessariamente concreta), cioè che venga attribuito un ‘significato’ ai simboli, alle parole, ai discorsi"
Per quanto riguarda il secondo aspetto richiamato sopra, in generale si intende per ‘intuizione matematica’ la capacità di prevedere risultati, di visualizzare situazioni e configurazioni geometriche, di riconoscere analogie, di individuare a priori lo strumento che risulterà efficace in un esercizio. Si parla anche di ‘pensiero anticipatorio’ per denotare il processo mentale di chi è impegnato a risolvere un problema, il quale è in grado di ‘prevedere’ il percorso che lo porterà alla soluzione, anche se in realtà questa arriverà concretamente al termine di una lunga sequenza di operazioni. Egli intuisce che la catena di calcoli che sta per iniziare lo condurrà alla meta, ma non è detto che sia in grado di tradurre a priori il suo ragionamento in una sequenza logica di passaggi.
Mi limiterò qui a richiamare il punto di vista piagetiano che vede l'intuizione come una forma di conoscenza precedente rispetto al pensiero operativo, ma comunque sempre presente di fronte ad un ‘nuovo’ non padroneggiato. Il bambino, cumulando esperienze psicomotorie e percettive, diventa (e rimane) capace di un pensiero di tipo sincretico: salta i nessi esplicativi che funzionano in nuce, mancano i collegamenti logici, temporali, spaziali, di causa effetto, nel senso che non si rendono espliciti. Il pensiero esplicito convive, cioè, con quello sincretico e questo continua anche nell'adulto.
Nel pensiero anticipatorio’ il soggetto compie in realtà nella sua mente un processo che rielabora e rivive esperienze precedenti, rileggendole alla luce della situazione nuova che sta affrontando: questo gli permette di ‘prevedere’ la strada, semplicemente percorrendo in anticipo un sentiero più volte percorso. Tuttavia è bene tenere presente che "non potremo sperare che un ragazzo ‘intuisca’ una soluzione se non ce lo abbiamo preparato, se non lo abbiamo abituato ad un lavoro che comprenda analisi di esempi particolari, risoluzione di esercizi e loro discussione con i compagni, riconoscimento di analogie, proposta di ipotesi, possesso di tecniche di verifica. Inoltre l'intuizione, come qualsiasi abilità, richiede di essere esercitata e stimolata: l'insegnante dovrebbe preoccuparsi di provocare continuamente i suoi allievi ad avanzare ipotesi e a metterle alla prova, osservando esplicitamente che questo procedimento prevede, anzi esige che si commettano errori".
Si noti che quanto sopra detto riguardo l’intuizione può ugualmente applicarsi a situazioni fortemente astratte, purché vi sia sufficiente agilità mentale nel trattare oggetti simbolici appunto quali entità semanticamente significative. "Quando si comincia ad interessarsi ad una teoria che prima non era nota, non se ne ha alcuna intuizione e si è del tutto incapaci di fare per proprio conto ragionamenti analoghi a quelli che si leggono. Poi, a poco a poco il velo si solleva ! [...] Io credo che il matematico si crei immagini puramente mentali di tali enti..., in altri termini l’astrazione può essere utile al costituirsi dell’intuizione, piuttosto che contribuire alla sua paralisi" .
Cerchiamo ora di comprendere come intuizione, astrazione, sintassi e semantica intervengano nell’acquisizione di un concetto matematico, utilizzando il modello introdotto da S. Vinner nel 1983 attraverso le due nozioni di definizione del concetto e di immagine del concetto.
Di ogni cosa, reale o astratta che sia, di cui conosciamo il significato, abbiamo anche una certa immagine. Essa comprende tutto quello che l’oggetto ci richiama alla mente, quindi ogni sua rappresentazione visiva e ogni sua caratteristica. Tutt’altra cosa è la definizione di un concetto, con la quale vogliamo significare una esposizione verbale che delucidi accuratamente una nozione, a partire da altre precedentemente supposte note. Accade di avere ben chiara l’immagine di un oggetto senza che se ne conosca la definizione formale: fin da bambini ad es. abbiamo impresse nella mente le mozioni di arancia, casa, treno, ecc. senza che nessuno abbia provveduto (e per molto tempo, forse per sempre, nessuno lo farà) a fornircene una definizione formale. Anzi, se ciò avviene in un secondo tempo, è possibile che si verifichi uno ‘scontro’ con l’immagine ormai formata mediante varie esperienze.
Se però diamo una definizione di un concetto totalmente ignoto (cioè di cui non esiste alcun ‘disegno mentale’) esso rischia di restare inattivo e persino di essere dimenticato dal soggetto che lo recepisce. Tale pericolo viene corso dai concetti matematici, di cui gli studenti raramente hanno una ‘immagine mentale’ preesistente rispetto a quella proposta dall’insegnante.
Se l’insegnante decide di dare prima di tutto la definizione formale si attenderà che i ragazzi, con una successiva rielaborazione della nozione, generino una personale ‘immagine mentale’, la quale sarà giudicata corretta se fedele alla definizione data. E’ tuttavia possibile ipotizzare anche il passaggio inverso, cioè dal disegno mentale arrivare ad esprimere la corretta definizione del concetto. Lavorare in una classe con questo fine è il metodo migliore per sperare che i ragazzi assimilino la matematica, ma è pure vero che un simile approccio richiede molto impegno e attenzione sia da parte di chi insegna che di chi impara. Secondo il Vinner il miglior metodo di apprendimento di un concetto è quello che, a partire da un lavoro cognitivo giunge alla scoperta e alla formalizzazione del concetto stesso, la cui definizione interagisce con continuità con l’immagine che gli studenti si sono formata, fino a costituire un unico ’blocco concettuale’.

Il Vinner identifica anche alcuni modelli errati, sottolineando come spesso gli insegnanti (in perfetta buona fede, si noti !) tendano ad adottarli al posto di quello sopra citato:

  • il concetto viene definito formalmente, ma non genera alcuna immagine mentale; lo studente ripete a memoria la definizione, pur ignorando il suo significato, cioè capendo a malapena quello di cui sta parlando
  • la definizione formale attiva la fantasia, la quale però si forma una propria immagine del concetto non necessariamente coerente con la generalità, cosicché alla lunga la definizione formale passa in secondo piano e il processo cognitivo si ferma o devia
  • lo studente si trova davanti ad una definizione quasi priva di senso intuitivo. Allora l’insegnante o il libro di testo stesso forniscono esempi specifici affinché l’immagine si formi; la definizione a questo punto diventa inattiva e spesso dimenticata

Come credo emerga bene da queste brevi considerazioni, il possesso di un concetto matematico equivale alla capacità di dominarne, a livello sintattico e semantico, una rappresentazione mentale che contemperi gli aspetti definitori e applicativi inerenti al concetto stesso. Tale rappresentazione non può che nascere da un confronto fra la definizione formale e le esperienze reali (concrete o astratte, ma comunque significative per chi apprende). Da questo punto di vista la presenza di un deficit sensoriale non può essere ritenuta (e di fatto non è) di ostacolo all’impadronirsi dei concetti matematici, ma certamente richiede da un lato una ricerca di strumenti tecnici che aiutino a compensare il deficit, dall’altro una riflessione su quali siano, per ciascun concetto considerato, gli aspetti realmente significativi su cui puntare l’attenzione ed a cui appoggiarsi, dedicandovi il maggior sforzo per realizzare la necessaria sintesi.

 

Ritorna a
Convegni ed Atti '98
Ritorna ad
elenco relatori
Relatore
successivo